در علم فیزیک نظری مدل‌های مختلفی برای توضیح جهان شتاب‌دار تا کنون مطرح شده‌اند که همگی به مقوله انرژی تاریک مربوط می‌شوند. توضیح ریاضیاتی این پدیده نظریه میدان اسکالر \phi نامیده می‌شود که مجموعا به چهار فرم اثر، فانتوم، تاچیون و کوانتومی تقسیم می‌شود. هر میدانی که تحت تبدیلات لورنتس ناوردا بماند اصطلاحا اسکالر خواهد بود. اصل کنش برای میدان اسکالر نسبیتی در جهان D بعدی و بر حسب مشتقات هموردا چنین تعریف می‌شود

\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \mathcal{L} = \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - V(\phi) \right]

که \mathcal{L} چگالی لاگرانژی و V(\phi) پتانسیل میدان نامیده می‌شود. معادله حرکت اویلر لاگرانژ متناظر با آن نیز چنین است

\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi+V'(\phi)=\partial^2_t\phi-\nabla^2\phi +V'(\phi)=0

بنابراین در حالتی که جرم m عامل بوجود آمدن انحنا یا همان تولید میدان اسکالر باشد داریم:

\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \mathcal{L} = \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[ \frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2 \right]
=\int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2- \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi \partial_j\phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2 \right],

در این حالت مسلما معادله حرکت اویلر لاگرانژ مربوط به آن نیز چنین مد نظر گرفته می‌شود

\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi+m^2\phi=\partial^2_t\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0

و اما اگر میدان کوانتومی را اساس میدان اسکالر در نظر بگیریم کنش مربوطه می‌شود

S=\int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2- \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n!} g_n\phi^n \right]

که طبیعتا در نظریه برهمکنش چهار بعدی \phi^4 چگالی لاگرانژی بر اثر پتانسیل میدان V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2 +\frac{g}{4!}\phi^4 منجر به معادله زیر می‌شود

\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 -\frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g}{4!}\phi^4.
 
 
 
 
 [ویرایش]